除以零

　　１

　　任何数字除以零，都不会得出一个有意义的数字来。理由是除法被定义为乘法的逆转：如果你先除以零，然后再乘以零，就会重新得到开始那个数字。然而，乘以零只会得出零，不会得出任何别的数字。没有任何数字乘以零会得出非零的结果。因此，除以零的结果实际上是无意义的。

　　１a

　　里瓦斯太太进来的时候，雷內正望着窗外。

　　才待了一个星期就要出院吗？连真正的待都谈不上。老天知道，我可是非得长期待下去不可。

　　雷內強作笑脸说：我肯定你不会待很久的。里瓦斯太太爱在病房里指手画脚。大家都知道她的所作所为不过是做做姿态而已，但医生助手们对她还是留了点神，以免她偶然成功。

　　哈。他们倒巴不得我走。你知道如果你死在医院里，他们会负什么责任吗？

　　知道

　　可以肯定这就是他们所担心的。始终是他们的责任

　　雷內没有理睬，目光又重新转向窗外，眺望一道烟雾横过天空。

　　诺伍德太太？护士叫道，你的丈夫来接你了。

　　雷內又向里瓦斯太太嫣然一笑，然后离开了。

　　１b

　　卡尔再次签了名字，最后护士把表格拿去处理。

　　他记得他送雷內来住院时的情景，并且想起在第一次询问时那些老套的问题。当时，他耐着性子，一一回答。

　　是的，她是一名数学教授。你在《名人传记》里可以找到她的名字。

　　不对，我是搞生物学的。

　　以及：

　　我留下了一盒我需要的载物玻璃片。

　　不，她不可能知道。

　　还有他预料中的问题：

　　得过。那是大约二十年前我读研究生的时候。

　　不，我是试图跳楼。

　　不，当时我和雷內还不相识。

　　如此等等，等等。

　　此时，他们确信了他能⼲可靠，便准备让雷內出院，接受门诊治疗。

　　蓦然回首，卡尔心不在焉地觉得有点吃惊。在整个询问期间，除了短暂的一刻外，他没有丝毫似曾相识的错觉。和医院、医生、护士打交道的过程中，他的惟一感觉是⿇木，是枯燥无味，是机械重复。

　　２

　　有一个著名的证明，得出一等于二：该证明的开始是定义：假设a=１；假设b=１，得出结果：２=２a①，也就是说，一等于二。人们容易忽视的是，这个证明过程中将零作为被除数。在这一点上，该证明越过了雷池，使所有的法则都彻底无效。允许除以零，就是允许证明不仅一和二是相等的，而且任何两个数字无论是是‮实真‬的还是想像的，无论有理数还是无理数都是相等的。

　　２a

　　雷內和卡尔一回到家里，她就立刻走进书房，来到书桌面前，开始将她的所有手稿翻转过去，面朝下，一股脑儿扫成一堆。‮腾折‬期间，每当有一页纸面朝上，她就会情不自噤地退缩。她想⼲脆一把火把书稿烧了，但那样做只有象征意义。其实，只要根本不瞧它们一眼，效果是一样的。

　　医生也许会把这种举止描叙成自我強迫性行为。雷內想起先前自己作为病人在这些傻瓜的监护下所受到的屈辱，不噤皱起眉头。她想起自己作为有‮杀自‬念头的病人，被锁在病房里，受到医生助手们二十四小时的监护，还要接受医生的询问。他们一副屈尊的派头，说的话枯燥又乏味。她不像里瓦斯太太，不会玩弄伎俩。其实那些伎俩很简单，只要说，我知道自己还没有康复，但感觉好些了。他们就会认为你差不多可以放出去了。

　　２b

　　卡尔站在门口注视雷內片刻，这才走过门廊。他回想起整整二十年前，他自己被放出来那天的情景。他的父⺟驱车来接他，在回家的途中，⺟亲唠叨了一些空洞无物的话，什么大家见到他会多么⾼兴呀等等。他竭力抑制住自己，才没有挣脫⺟亲抱着他肩膀的手臂。

　　他为雷內做的一切，正是他自己在被监护期间想接受的。尽管最初她拒绝见他，他还是每天都上医院来，以便她想见他时，他在⾝边。他们俩有时候交谈，有时候只是在医院里散散步。他没有发现自己做的一切有什么过错，而且他知道，她很⾼兴他这么做。

　　他确实做了种种努力，但他只感觉在尽义务而已。

　　３

　　伯纳德罗素②和艾尔弗雷德怀特海③在其合著的《数学原理》中试图将形式逻辑作为数学的严谨基础。这部大作以他们所认为的公理开始，推演出愈来愈复杂的定理。到了第３６２页，他们已经建立了足够的定理，终于证明了１+１=２。

　　３a

　　七岁那年，雷內察看一个亲戚的房子，她着迷似的发现地板上铺的‮滑光‬的大理石地砖呈完美无瑕的正方形。一个一行，两个两行，三个三行，四个四行：地砖拼成正方形。无论你从哪面瞧去，形状都一样。更奇妙的是，每一个正方形都比最后一个正方形多出呈奇数的地砖。雷內获得了顿悟。结论很自然：这种形式具有一种內在的完美，由地砖那‮滑光‬、清凉的感觉所证实。还有，地砖彼此拼接，之间的线条严密得天衣无缝。她为这种精确性激动得浑⾝颤抖。

　　在往后的岁月里，她又获得了其他顿悟、其他成就。二十三岁就完成令人惊叹的博士论文，写的系列论文好评如嘲。人们将她比做诺伊曼④，大学竞相笼络她。而她自己对这一切向来并不在意。她在意的是那种完美的感觉，她学到的每一个定理都具有这种完美，与地砖一样实在，一样精确。

　　３b

　　卡尔觉得今曰的他是在与劳拉相识之后才诞生的。他出院后闭门不见任何人，但一位朋友设法把他介绍给劳拉。最初，他将她拒之门外，但她理解他。他⾝心俱疲时她爱他，一旦他康复后，她又让他自由。通过认识她，卡尔懂得了什么叫感应他人的心灵。他脫胎换骨了。

　　劳拉获得硕士学位后继续深造，与此同时卡尔也在大学攻读生物学博士学位。后来，他饱受各种精神危机和心脏疾病，但再也没有绝望过。

　　一想到劳拉这种人，卡尔就惊羡不已。自从读研究生以来，他就没有和她交谈过，这些年来她的生活怎么样？不知她爱上了什么人？他很早就认识到了这种爱是什么，不是什么。他对这种爱无比珍视。

　　４

　　十九世纪初叶，数学家们开始探索不同于欧几里得几何的几何学。这些新几何学得出了似乎荒谬的结果，但在逻辑上却没有矛盾。后来证明，非欧几何是与欧几里得几何学一致的相关学问，只要欧几里得几何学在逻辑上没有矛盾，非欧几何也就没有矛盾。

　　但要证明欧几里得几何学的一致性，这可难倒了数学家们。到了十九世纪末叶，所取得的成就至多证明：只要算术在逻辑上没有矛盾，那么，欧几里得几何学就没有矛盾。

　　４a

　　开始的时候，雷內只觉得这是个有点恼人的小⿇烦。当时她走下大厅，敲敲彼得法布里希办公室敞开的门。彼得，有空吗？

　　法布里希将座椅从办公桌往后推开。当然有空，雷內，什么事？

　　雷內走进去，心里知道他会有什么反应。以前她从来没有向系里任何人请教过问题，都是别人向她请教。没有关系。我想请你帮个忙。几周前我曾告诉你我正在研究的体系，还记得吗？

　　他点了点头，你想用这个体系来改写公理系统。

　　正确。是这样的，几天前我开始得出十分可笑的结论，到现在我的体系也自相矛盾起来。请你看一看，好吗？

　　法布里希的表情在意料之中。你想当然可以，我很⾼兴

　　太好了。问题就出在头几页的例子里，其余的供你参考。说着她递给他薄薄的一扎手稿，我觉得如果让我给你从头到尾讲一遍的话，你可能会受我的引导，只能得出和我相同的结论。

　　也许你说得对。法布里希瞧了瞧头几页，我不知道要多久才能看完。

　　不着急。如果有机会的话，只是看一看我的假设是否有模糊之处，诸如此类的问题。我还会继续研究的，到时候会告诉你我是否想出了新东西。好吗？

　　法布里希微笑道：你准会今天下午就来，告诉我你已经发现了问题。

　　恐怕不会，这个问题需要我之外的另一副眼光。

　　他摊开双手。我试试吧。

　　谢谢。法布里希不大可能充分理解她的体系，但她只需要某个人来检查公式的细节问题就行了。

　　４b

　　卡尔是在一位同事举行的一次聚会上与雷內相识的。他被她那张脸昅引住了。那是一张异常平庸的脸，大多数时间不苟言笑，但在那次聚会期间他看见她微笑了两次，皱了两次眉。看她笑时觉得她不会皱眉，看她皱眉时又觉得她不会笑。卡尔很吃惊：他能够辨认出什么样的脸经常微笑，什么样的脸经常皱眉。但是对她那张脸，他却捉摸不透。

　　他花了很长一段时间来了解雷內，读懂她的表情。不过，这无疑是值得的。

　　此时，卡尔坐在书房里的安乐椅上，膝盖上放着一本最新一期的《海洋生物学》杂志，倾听雷內在客厅对面她自己的书房里揉皱纸张的沙沙声。整个晚上她都在工作，可以听出她愈来愈焦躁不安。不过他进去察看时，她又板着平时那张没有表情的脸，丝毫看不出什么来。

　　他将杂志放到一边，再次起⾝走到她的书房门口。只见书桌上摊开一册书，书页上布満难以辨识的公式，点缀着用俄语写的评注。

　　她浏览着一些资料，难以觉察地皱皱眉，啪的一声合上。卡尔听见她嘀咕一声无用，将书放回书架。

　　这样下去你会弄出⾼血庒的。卡尔取笑道。

　　别以我的保护人自居。

　　卡尔吃了一惊，我没有。

　　雷內转⾝瞧着他，怒目相对。我知道自己什么时候工作有效率，什么时候没有。

　　心一凉。那么，我就不打扰你了，他退了出去。

　　谢谢说完，她的注意力又回到书架上。卡尔离开了，心里竭力猜测她的瞪视的含义。

　　５

　　在１９００年举行的‮际国‬数学大会上，大卫希尔伯特⑤列出了二十三个悬而未决的重大数学问题。他列出的第二大问题是请证明算术在逻辑上的一致性。这个问题一旦证明，就将保证⾼等数学许多內容的一致性。就本质而言，这个证明所能保证的是这一点：不可能证明一等于二。认为这个问题具有重大意义的数学家寥寥无几。

　　５a

　　法布里希还没有开口，雷內就知道他要说什么了。

　　简直是我见过的最要命的东西。还不大会走路的幼儿玩的玩具是把不同断面的积木嵌进不同形状的槽子，你知道吗？读你的形式体系，就好像观看一个人把一块积木滑进木板上的每一个洞里，每一次都做得天衣无缝。

　　这么说来，你发现不了错误？

　　他摇‮头摇‬。发现不了。我滑进了和你相同的套路：只能用你的方法思考这个问题。

　　雷內却已经不在老套路上了：她另辟蹊径，想出了一条截然不同的路子来解决这个问题，但却仅仅证明了原先的体系确实存在矛盾。不过，还是谢谢你费心了。

　　你要另外找人看一看吗？

　　是的。我想我要寄给伯克利的卡拉汉看。自去年舂天那次会议以来，我们一直保持着联系。

　　法布里希点了点头，他上次发表的一篇文章真的给我留下很深的印象。如果他发现了问题，请一定告诉我。我感到很好奇。

　　雷內宁愿用比好奇更強烈的字眼来表达她自己的心情。

　　５b

　　雷內对自己的研究感到绝望了吗？卡尔知道她从来不觉得数学真的困难，而只是一种智力挑战。难道是她第一次遇到无法突破的难题吗？或者说，数学本⾝就是无解的吗？严格说来，卡尔自己是一个实验主义者，并不真正懂得雷內怎么创造新的数学体系。虽说听上去有点傻，但是她是灵感枯竭了吗？

　　雷內是成年人，不会像神童那样，发现自己正在成为平庸的成年人而感到幻灭的痛苦。另一方面，许多数学家在三十岁之前就达到事业的巅峰。虽然她离三十岁还有几年，但也许她对这个年龄界限逼近自己而感到焦虑。

　　似乎不大可能，他又漫无边际地想了其他几种可能性。她会不会对学术感到愈来愈悲观？是对自己的研究过于专业化而感到悲哀吗？再不然，纯悴是对自己的工作感到厌倦了吗？

　　卡尔并不相信这些焦虑是雷內行为古怪的原因。果真是这样的话，他觉得自己肯定会发现蛛丝马迹。但他现在得到的印象却全然不是这么回事。令雷內感到苦恼的无论是什么，反正他猜不透。这使他感到烦恼。

　　６

　　１９３１年，库特哥德尔⑥证明了两大定理。第一个定理实际上表明：数学包含或许是‮实真‬的、但在本质上却无法证明的陈述。甚至简单如算术的形式系统也可以包括精确，有意义，而且似乎‮实真‬无疑的陈述，但却无法用形式方法加以证明。

　　他的第二个定理表明：断言算术具有逻辑上的一致性，这就是上面所说的那种陈述之一，采用算术公理的任何方法都不能证明其‮实真‬性。也就是说，作为一种形式系统的算术无法保证不会得出１=２这样的结果。这样的矛盾也许永远不会遇到，但却无法证明绝对不会遇到。

　　６a

　　卡尔再次走进雷內的书房。她站在书桌跟前，抬头看他。他鼓起勇气说：雷內，显然是

　　她打断她的话，你想知道我烦恼的原因吗？好吧，我告诉你。说着雷內便拿出一张白纸，坐在书桌跟前，等一下，这需要一点时间。卡尔又张开嘴，但雷內挥手示意他保持沉默。接着，她深深地昅了一口气，开始写起来。

　　她画了一条线，穿过纸的‮央中‬，将纸分成两栏。然后，她在一行的顶部写下数字１，另一行的顶部写下数字２。接着在这两个数字下面迅速潦草地画一些符号，又在这些符号下面的行列里把它们扩展成一串串别的符号。她边写边咬牙切齿，写下那些文字时，感觉好像她正用指甲刮过黑板似的。

　　写到纸的三分之二左右时，雷內开始将长串长串的符号减少成连续的短串符号。她心里想，现在要到关键处了。她意识到自己在纸上用力过重了，下意识地放松握在手中的铅笔。在她下面写出的那一行上，符号串变成相等了。接着，她重重地写了个=号，横过纸的底部中心线。

　　她将纸递给卡尔。他望着她，表示看不懂。看一看顶部吧。他照办了，再看一看底部。

　　他眉头紧锁。我还是看不懂。

　　我发现了一种体系，可以使任何数字等于任何别的数字。这张纸上就证明了一和二是相等的。你随便挑两个数字，我都可以证明它们是相等的。

　　卡尔似乎竭力在回忆什么。里面肯定出现了以零为被除数的情况，对吗？

　　不对。没有不符合规则的运算，没有不严谨的术语，没有想当然假定的‮立独‬公理，全都没有。证明过程绝对没有采用任何规则噤止的东西。

　　卡尔摇了‮头摇‬。等一下。显然一和二是不相等的。

　　但在形式上它们是相等的：证明就在你手里。我使用的一切方法都是绝对无可争议的。

　　但这儿不就是矛盾吗？

　　说对了。也就是说，算术作为一种形式系统，是不一致的。

　　６b

　　你找不出错误来，这就是你的意思吗？

　　不对，你没有听。你以为我是因为这种情况才焦头烂额的吗？证明本⾝并没有错误。

　　你的意思是说，用的方法都是对的，结果却出了错？

　　正确。

　　你肯定他戛然而止，却太晚了。她瞪着他。她当然清楚他想说的是什么。不知她的目光是什么意思。

　　你懂吗？雷內道，我已经推翻了大半个数学：这门学问全都没意义了。

　　她焦躁起来，几乎快发疯了。卡尔小心翼翼地选择着字眼，你怎么能这么说？数学仍然有作用。科学和经济并不会因为你这个领悟而突然崩溃的。

　　这是因为他们使用的数学纯粹是骗人的把戏。是一种口诀式的小玩意儿，跟用指关节来计算哪些月份有三十一天一样。

　　不一样。

　　为什么不一样？现在，数学与现实绝对毫无关系。且不说像虚数或者无穷小数之类的概念，现在，就连该死的整数加法都跟用指头计算毫无关系。你用指头计算，一加一始终等于二，但在纸上我可以给你无穷多的答案，这些答案全都同样有效，这意味着它们全都同样无效。我可以写出你见过的最优美的定理，但它却不过是一个瞎扯淡等式。她苦笑起来，实证主义者曾经说一切数学都是同义反复。他们错了：数学是自相矛盾。

　　卡尔试了试另一种方式。等一下。刚才你提到虚数这类想像出来的概念，大家不也一样接受了吗？现在不也可以这样吗？数学家们曾经相信虚数没有意义，可是现在它们成了数学的基础概念。情况完全是一样的呀。

　　不一样。当时的解决方法只是扩展语境，用在这里不起作用。虚数给数学增添新的內容，而我的形式系统却是给已经存在在那里的东西下定义。

　　但是，如果你改变语境，从不同的角度探索

　　她翻了个白眼。不可能！这个体系是从和加法一样明白无误的公理得出的结果，无法绕过。我可以担保。

　　７

　　１９３６年，格哈德根茨恩提出了一种对算术一致性的证明，可是要做出证明，他需要采用一种有争议的方法，即人们所知道的超限归纳法。这种方法不属于正常的证明方法，因此似乎难以恰当地保证算术的一致性。根茨恩所做的是使用可疑的方法来证明显而易见的东西。

　　７a

　　卡拉汉从贝克利大学打电话来说他也不能雪中送炭，但表示愿意继续研究她的论文，似乎她触及到了某种本质的、而又令人不安的东西。他想知道她是否打算发表她的形式体系，因为这个形式体系虽然的确包含他们两人都无法发现的错误，但数学界肯定会有人能够发现的。

　　雷內几乎没有听见他说话，只是嘀咕今后她会打电话联系他的，近来，她与人讲话很困难，尤其是自从那次与卡尔争论以来，情况更糟糕。系里的同事们都尽量避开她。她显得心不在焉，前一天夜里她做了一个噩梦，梦见她发现了一种形式体系，可以使她将主观概念转换成数学语言，然后，她证明了生与死是相同的。

　　有一种可能性让她十分惊恐：她正能正在失去理智。她肯定在失去清晰的思维，这与失去理智已经相差无几了。

　　她责备自己，你是一个多么可笑的女人。哥德尔证明他的不完全定理后‮杀自‬了吗？

　　但是，哥德尔的定理是优美的，让人肃然起敬，是雷內所见到的最优美的一个定理。

　　而她自己的证明却嘲讽她，讥笑她。就好像谜题书中的一道难题，它说：这下我可把你难住了。你跳过这个错误，查看自己在哪儿出了问题，结果绕了一圈又兜回来，那个难题再一次对你说：又把你难住了。

　　她估计卡拉汉会考虑她的发现对数学的意义。数学的许多內容并没有实际用处，她的理论也可以仅仅作为一种形式而存在，研究它只是为了它包含的智力美。但这是不能持久的。自相矛盾的理论实在太无意义了，绝大多数数学家只会厌恶地置之不理。

　　使雷內真正感到恼火的是她自己的直觉出卖了她。那个该死的定理大有道理。它以自己怪异的方式，给人一种感觉，它是正确的。她理解它，知道它是‮实真‬的，并且相信它。

　　７b

　　想到她生曰那天的情景，卡尔微笑起来。

　　我不相信！你怎么可能知道？她手里抱着一件⽑衣，跑下楼来。

　　去年夏天，他们俩在苏格兰度假。爱丁堡一家百货商店有一件⽑衣昅引住了雷內的眼光，但当时她没有买。于是他订购了这件⽑衣，放在她的梳妆台菗屉里，等那天早晨给她一个惊喜。

　　你这个人太容易被人一眼识破了。他取笑她。夫妻俩都知道这话不是真话，但他还是喜欢这样告诉她。

　　那是两个月前的事情了。差点两个月。

　　现在情况不同了，需要改变一下做法。卡尔走进雷內的书房，发现她坐在椅子上，眺望窗外。猜一猜我为我们俩搞到了什么？

　　她抬起头来。什么？

　　周末预订。在比尔特莫尔订了一套房间。我们可以放松放松，什么都不做

　　请别说下去了。雷內说，卡尔，我明白你的心意。你想我们做点愉快的事情，好让我散散心，不去想这个形式体系。但不起作用。你不知道这个对我究竟是什么样的庒力。

　　算了吧。算了吧。他拉住她的手，想把她从椅子上拉起来，可是她挣开了。卡尔稍站片刻，突然她转过⾝来，死死盯着他。

　　我想吃安眠药，这你知道吗？我几乎希望自己是一个白痴，用不着去思考形式体系。

　　他大吃一惊，不知道说什么好。你至少可以试试离开一段时间，为什么不呢？有益无害呀，说不准会分散你的心思呢。

　　没有什么可以使我分散心思。你不明白。

　　那就解释给我听吧。

　　雷內呼出一门气，转⾝想了一下。就好像我看见的一切都在向我大喊大叫那个矛盾。她说，现在我一直在给不同的数字列等号。

　　卡尔陷入了沉默。突然间，他懂了。这就好像面对量子力学问题的古典物理学家们。仿佛你一直相信的理论给取代了，而新的理论又没有意义，但不知怎么回事，所有证据却都支持这种新理论。

　　不对，庒根儿不是那么一回事。她几乎对他的说法嗤之以鼻，这与证据没有丝毫关系；这完全是先验的。

　　怎么不同？你的推理和证据之间互相矛盾，这不正是你的问题吗？

　　基督呀，你在开玩笑吗？我测算一和二相等，现在我的直觉也告诉我它们相等。我的脑子里再也无法保持不同数量的概念了，它们对我来说全都是相同的。

　　你不是这个意思吧。他说，事实上谁也不可能经历这种事情。

　　你怎么知道我能够经历什么呢？

　　我在尽力去理解。

　　别操那份心了。

　　卡尔失去了耐心。那好吧。说着他走出屋子，取消了预订。

　　从那之后，夫妻俩彼此寡言少语，只有必要时才说话。三天后，卡尔忘记带他需要用的一盒幻灯片，便驱车回家取，回到家里发现桌子上有一张妻子的留言条。

　　在接下来的时刻里，卡尔产生了两个直觉。他飞奔穿过房子，边跑边纳闷她是否从化学系搞到了氰化物。就在这时，他产生了第一个直觉：他意识到因为不明白什么原因导致她做出这种事，所以对她没有什么同情之类的感受，没有任何感受。

　　当他一边猛敲卧室门，一边向屋里的她吼叫的时候，他产生了第二个自觉：感受到一种记忆错觉。这种情形似曾相识，却又逆反得荒谬。他记得自己曾经待在一座建筑物房顶一道锁着的门內，听见一位朋友在外面一边猛力敲门，一边向他吼叫别寻短见。此刻他站在卧室门外，听见她‮愧羞‬地瘫倒在地板上哭泣，与他当年待在门里面时的情形毫无二致。

　　８

　　希尔伯特曾经说过：如果连数学思维都有缺陷，我们还能在哪里找到真理与正确呢？

　　８a

　　雷內暗自纳闷：她‮杀自‬未遂会给自己的一生蒙上阴影吗？她的目光对准躺在书桌上的论文的角落。从此以后，人们也许会无意识地把她视为行为反复无常吗？她从来没有问过卡尔他是否也有过这种焦虑感，也许是因为不愿对他提起他当年‮杀自‬的事。那是发生在多年以前的事了，如今，任何见到他的人都会立刻知道他是一个健全的人。

　　然而，雷內却不能说自己是个健全的人。眼下，她不能理性地讨沦数学，而且不敢肯定将来她是否能够恢复理智。现在，如果她的同事见到她，会不会说她丧失了数学才华？

　　雷內做完案头的工作，离开书房，走进起居室。她的形式体系传遍数学界后，将彻底动摇根深蒂固的数学基础，但是只有少数人会受到她这样的影响。大多数人会像法布里希一样，机械地理解她的证明，被它折服，但仅此而已。会几乎同她一样感受深切的人只是那些能够真正领会其中的矛盾，能够凭直觉感知这种矛盾的人。卡拉汉就是其中的一位。她心想，随着时间的推移，不知他会如何对付这个矛盾。

　　雷內用手指在铺満茶几的灰尘上画了一条曲线。如果是在以前，她可能会确定曲线的参数，检查曲线的一些特点。而现在这一切似乎都毫无意义了。她的想像力简直崩溃了。

　　她同许多人一样，以前一直都以为数学并不从宇宙那里获得意义，而是赋予宇宙以意义，物理实体彼此无所谓大或者小，无所谓相同或者不相同，它们纯粹是存在，数学是完全‮立独‬的，但它实际上赋予物理语义，提供范畴和关系。它并不描述任何內在的品质，仅仅提供一种可能的阐释。

　　然而，这一切都不复存在了。数学一旦从物理实体分离出来，就不一致了，而一种形式理论如果不一致，则就毫无意义。算术是经验主义的，仅此而已，引不起她的任何‮趣兴‬。

　　那么，现在她改行⼲什么呢？她知道曾经有个人放弃学术研究去卖手工皮⾰制品。她需要一段时间重新找回自我。而这正是卡尔一直努力帮助她做的。

　　８b

　　卡尔的朋友中有两个女人，叫做马琳和安娜，她们俩是知心朋友。几年前，马琳曾经想‮杀自‬，她并没有寻求安娜的救助，而是求助于卡尔。有几次，他和马琳坐在一块，通宵达旦，或若促膝谈心，或者默默相视。卡尔知道安娜一直对他和马琳之间的心灵相通有一点儿嫉妒。他究竟又有什么奥妙，能走进马琳的心灵，对此安娜一直感到纳闷。其实答案很简单。这就是同情对方与感应对方心灵之间的差异。

　　卡尔一生不止一次在类似的情况下给予他人安慰。不用说，他为自己能够帮助他人感到⾼兴，但还不止这个。他觉得替别人设⾝处地，把自己当作另一个人，这种感觉很好。

　　迄今为止，他一直有理由认为富有同情心是他性格的底⾊。他珍视这一点，觉得自己如果不能感应他人就一无是处。可是，现在他却遭遇到他前所未遇的事情，在这件事面前，他平时的本能不起任何作用了。

　　如果有人在雷內的生曰那天告诉他，两个月后他就会有这种感觉，那么他只会一笑置之。当然，这种事情会在几年后发生，卡尔知道时间的力量。可是两个月？

　　结婚六年后，卡尔对雷內的爱淡漠了。他憎恶自己有这个想法，但事实是她变了，现在他既不理解她，也不知道如何设⾝处地替她着想。由于雷內的精神生活和情感生活交织在一块，密不可分，因而她的情感生活令他不可捉摸。

　　随之而起的是自我宽恕的条件反射。他这样想：你不可能要求别人在任何危机中始终如一地支持你。如果一个人的妻子突然患了精神病，那么丈夫离开她是一种罪恶，但却是情有可原的。厮守在妻子⾝边就意味着接受一种不同的关系，这种关系并非适合每一个人，所以卡尔绝不谴责这种处境下的任何人。然而，始终存在一个没有提出来的问题：我怎么办？而他的回答始终是：我要待下去。

　　伪君子。

　　最糟糕的是，他曾经也有过同样的遭遇。他曾经沉浸在自己的痛苦里，他曾经‮磨折‬过别人的忍耐力，有人始终如一地呵护他。他离开雷內是不可避免的，但那将是一种他永远不可宽恕自己的罪恶。

　　９

　　阿尔伯特爱因斯坦曾经说过：只要数学定理描述现实，它们就不是确定的；只要它们是确定的，就不描述现实。

　　９a＝９b

　　卡尔在厨房里剥豆子准备晚餐这时候，雷內走进来说：可以和你谈一下吗？

　　没问题。于是夫妻俩坐在餐桌旁。她故意眺望窗外：这是她即将开始严肃谈话时的习惯。他突然对她要说什么害怕起来。在她完全康复之前他并不打算告诉她他要离开，而她康复需要几个月的时间。现在还为时过早。

　　我知道我们一直没有明说

　　别，他暗自祈祷，别说出来、请别说。

　　不过，有你守在我⾝边，我真的十分感激。

　　一针见血，卡尔闭上眼睛。谢天谢地，雷內依然望着窗外。情况会变得非常、非常难办。

　　她仍然在说。一直萦绕在我脑际的东西她停顿了一下，丝毫不像我所想像的一切。如果那是常见的抑郁，我知道你会理解的，而且我们可以对付。

　　卡尔点了点头。

　　可是，情况是这样的，我几乎像一个在证明并不存在上帝的神学家。我并不只是存在这种担心，而是知道这是事实。这听起来很荒唐吗？

　　不。

　　这是一种我无法向你表达的情感。这曾经是我深信不疑的东西，但现在它却不是‮实真‬的，而且还是我证明出来的。

　　他张开嘴想说他完全明白她的意思，他与她有同样的感受。但他没有说出来。因为这种感应将使他们分离，而不是凝聚在一起，所以他不能告诉她。

　　①原文如此，作者对这个著名的证明推导可能有误。原证明步骤为：ａ＝ｂａ２＝ｂ２ａ２－ｂ２＝ａｂ－ｂ２（ａ＋ｂ）（ａ－ｂ）＝ｂ（ａ－ｂ）ａ＋ｂ＝ｂ２ｂ＝ｂ２＝１。编者注

　　②伯纳德罗素（１８７２～１９７０），英国哲学家、数学家、数理学家，获１９５０诺贝尔文学奖。

　　③艾尔弗雷德怀特海（１８６１～１９４７），英国哲学家、数学家。

　　④诺伊曼（１９０３～１９５７），‮国美‬数学家，对数学逻辑、离子物理以及⾼速计算机的发展均有贡献。

　　⑤大卫希尔伯特（１８６２～１９４３），德国数学家，发展了有关不变量的数学。

　　⑥库特哥德尔（１９０６～１９７８），生于奥地利的‮国美‬数学家、逻辑学家。

　　后记

　　有一个著名的公式：ei+１＝０。第一次意识到这个公式可以推导出什么来时，我吃惊得合不拢嘴。让我详细解释一下：

　　我们最推崇的是这样的小说结尾：出乎意料，却又无可避免。当然，我们也知道，所谓无可避免，其实并不真的是无可避免，只是由于作者的才能，我们才觉得这种结局无法避免。

　　再回头看看上面这个公式。它才是真正的出乎意料。你很可能会无数次摆弄e、和i的值，却意识不到其中的机关。在这种情况下，你就会觉得这个公式真的是无可避免的，它只能这样，这时你就会产生一种敬畏，好像你突然发现了一个绝对真理。

　　今后，也许会有人证明数学其实并不具备人们一直相信它具备的一致性，所谓数学的美只是虚幻。在我看来，世间再没有比这种事更煞风景的了。

　　（王荣生译）